옥스퍼드 수학 인터뷰 문제: 동전 게임 확률
Adriaan (Harry L.) · Mathematics (Oxford)
정답을 빨리 뽑아내는 훈련은 잘 되어 있는데, 옥스퍼드 수학 인터뷰에서는 그게 오히려 손해가 되기도 합니다. 여기서는 20분 동안 헤매는 과정 자체를 보거든요. 말로 된 문제를 어떻게 식으로 옮기는지, 막혔을 때 어디를 뒤지는지를요.
저는 Adriaan이고, 옥스퍼드에서 수학(Maths)을 공부합니다. 인터뷰에서 만날 법한 짧은 확률 문제 하나와, 그 뒤에 있는 생각의 흐름을 그대로 보여드릴게요.
문제: 동전 게임
동전을 계속 던집니다. 앞면이 나오면 1파운드를 받고 계속 던지고, 뒷면이 나오면 게임이 끝나 그때까지 번 돈을 가져갑니다.
기대 상금은 얼마일까요? 즉, 평균적으로 얼마를 들고 나가게 될까요?
먼저 이 문제의 모양을 보세요. 상한이 없습니다. 앞면이 스무 번 연속 나올 수도 있죠. 그러니 답에는 반드시 무한합이 끼어듭니다. 그걸 알아차리는 순간, 어느 도구 상자에 손을 넣어야 할지도 정해집니다.
기댓값을 먼저 식으로 적는다
앞면이 나올 확률을 h라 하면 뒷면은 1 − h입니다.
정확히 1파운드를 딴다는 건 "앞면 한 번, 그다음 뒷면"이므로 확률은 h(1−h). 정확히 2파운드를 딴다는 건 "앞면 두 번, 그다음 뒷면"이므로 h²(1−h). 이런 식으로 이어집니다.
기댓값은 각 상금에 그 확률을 곱해 전부 더한 것입니다.
E = 1·h(1−h) + 2·h²(1−h) + 3·h³(1−h) + …
(1−h)를 묶어 내면:
E = h(1−h) · (1 + 2h + 3h² + 4h³ + …)
이 설정을 깔끔하게 적어 내는 것만으로 절반은 끝난 것이고, 많은 사람이 건너뛰는 것이 정확히 그 절반입니다. 건너뛴 사람은 대개 답을 곧장 "보려고" 하다가 허공에서 멈춥니다.
급수의 정체를 알아보기
무한합이고, 여기서의 묘수는 그 모양을 알아보는 것입니다.
1 + 2h + 3h² + 4h³ + … 은 등비급수의 미분입니다.
우리는 이미 1 + h + h² + h³ + … = 1/(1−h) 을 압니다.
양변을 h로 미분하면 왼쪽은 1 + 2h + 3h² + …, 오른쪽은 1/(1−h)² 이 됩니다.
그러니 무한히 더하려 애쓸 게 아니라, 알고 있는 닫힌 형태를 미분하면 됩니다.
대입하면:
E = h(1−h) · 1/(1−h)² = h/(1−h)
기대 상금은 앞면 확률과 뒷면 확률의 비입니다.
한마디 덧붙이면, 인터뷰에서의 진짜 기술은 빨리 계산하는 게 아니라 눈앞의 것을 전에 본 적 있다고 알아보는 것입니다. 급수, 미분, 등비급수의 닫힌 형태 — 전부 교과서에 있던 옛 친구들이 옷만 갈아입고 서 있는 겁니다.
답이 말이 되는지 검산하기
언제나 쉬운 경우로 답을 시험해 보세요.
공정한 동전이면 h = 1/2이고, h/(1−h) = (1/2)/(1/2) = 1.
공정한 동전으로는 평균 1파운드를 들고 나간다는 뜻입니다. 크기 감각이 맞습니다.
하나 더 해 보죠. h가 1에 가까워지면(거의 항상 앞면) h/(1−h)는 무한대로 발산합니다. 게임이 사실상 끝나지 않으니 상금에도 상한이 없다는 뜻이고, 이것도 말이 됩니다.
인터뷰에서 이런 검산을 소리 내어 하면 효과가 아주 좋습니다. 식을 밀고 있는 게 아니라 식의 의미를 신경 쓰고 있다는 신호니까요.
실제 인터뷰 방에서는 어떻게 흘러가나
위에서는 방법을 꽤 직선적으로 보여 드렸지만, 실제 인터뷰에서는 생각할 시간이 훨씬 길고 힌트도 받게 됩니다.
이런 문제 하나에 20분이 걸릴 수 있습니다. 그들이 보고 싶은 건 여러분이 문제를 어떻게 세우는지, 무한합과 어떻게 씨름하는지, 미적분과의 연결을 어떻게 조금씩 찾아내는지이지, 답을 얼마나 빨리 쏘는지가 아닙니다.
2분 만에 h/(1−h)를 말해 버리면 튜터는 곧바로 더 어려운 걸 얹을 겁니다. 아직 보고 싶은 것을 못 봤으니까요.
제가 권하는 연습
첫째, 말로 된 문제를 깔끔한 식으로 옮기는 것을 빠르게 만드세요. 시간은 늘 여기서 사라집니다.
둘째, 등비급수와 그것의 미분·적분을 편하게 다루세요. 이 도구는 이 문제 말고도 계속 돌아옵니다.
셋째, 최종 식을 항상 쉬운 경우에 넣어 검산하고, 그 검산을 소리 내어 말하세요.
마지막으로 하나. 이 문제가 실제로 훈련시키는 건 확률이 아니라 일종의 내성입니다. 상한도 없고 끝도 보이지 않는 대상 앞에서 그래도 한 걸음 질서 있게 나아갈 수 있는가. 수학과에서 보내는 3년은 대부분 그 상태입니다.
